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14 julio 2012

Sucesión alternada o mesclada

Estas sucesiones podrían ser llamadas también sucesiones mescladas o sucesiones mixtas, en ellas siempre hay dos o más sucesiones que están mescladas intercaladamente una en otra , por tanto siempre existe más de una ley de formación. Ejemplo:
Para desarrollar este tipo de sucesiones casi siempre se puede hacer uso de las leyes de progresión aritmética y geométrica, teniendo en cuenta los términos pares e impares de la sucesión.

Comúnmente tienen esta estructura:
 
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Ejercicios de sucesión alternada o mesclada
Progresión aritmética
Progresión geométrica
La sucesión

Sucesiones literales

Las sucesiones literales como su nombre lo dice están formadas por órdenes lógicos de letras, dichos órdenes incluyen las reglas del alfabeto o abecedario, y ya que el abecedario varia en el uso de algunas letras se pueden especificar las siguientes reglas:
En primer lugar verificar si el orden pertenece al abecedario si es así, entonces recordar que el abecedario tiene dos tipos, el que incluye la ch y la ll y el que no las incluye, en estos casos si dentro del ejercicio o las alternativas aparece la ch o la ll entonces se deben considerar ambas dentro del abecedario, pero si no están incluidas se debe usar el abecedario que no las contiene; Si el orden no responde al abecedario significa que dichas letras corresponden al orden de palabras o la primeras letras de un orden tal como los días de la semana (l, m, m, j, V, s, d) o los meses (e, f, m, a, m , j, j, a, s, o, n, d)
En algunos casos algunos autores acostumbran a enumerar las letras del abecedario para de esta manera facilitar el desarrollo de estos ejercicios.
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Ejercicios:
 
Caso 1
Que letra continúa la sucesión:
A,e,h,…
En este caso observamos como la variación es de:
 
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Por tanto la letra siguiente es la “j”
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Caso 2
Que letra es la que sigue en la siguiente sucesión:
s, o, r, b, i,…
En este caso podemos observar que la ley de formación esta determinada por la palabra libros pero invertida, por tanto la letra faltante es la “L”
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Caso 3
Que letra continúa la sucesión:
d, l, m,…
En este caso se refiere a los días de la semana empezando por el domingo, por tanto la letra que sigue es la “m” de miércoles.
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La sucesión

Ejercicios de sucesión alternada o mesclada

Hallar el 10mo y 11vo término de la sucesión
2, 3, 6, 7, 18, 11,…
Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta la ley de formación de las dos sucesiones que están mescladas en esta sucesión, luego para números impares o pares se usan estas fórmulas individuales:
 
Para números pares:
Si te piden un número par este será otro número en la progresión individual, por ello se usa esta fórmula:
NV = 2 n

Para números impares:
Si te piden un número par este será otro número en la progresión individual, por ello se usa esta fórmula:
NV = 2 n – 1

 
Ahora mostremos gráficamente la ley de formación de esta sucesión:
2, 3, 6, 7, 18, 11,…
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Para hallar el término 10 detectamos que es un número par entonces:
10 = 2 n n=5 y su razón de los números pares es +4 (progresión aritmética)
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El termino 10 de la sucesión es 19
 
Para hallar el término 11 detectamos que es un número impar entonces:
11= 2n-1 n=6 y su razón de los números pares es ×3 (progresión geométrica)
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El termino 11 de la sucesión es 486
NOTA: Se procede de igual forma para hallar la sumatoria de términos, solo que al final las sumas de ambos se unen en una sola suma, es decir, si te pidieran la suma de los 11 primeros términos debes hallar la suma de los seis términos consecutivos geométricos y la suma de los cinco consecutivos aritméticos y luego sumar ambos resultados.
 
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Progresión aritmética
Progresión geométrica
La sucesión

Sucesión combinada o mixta

Este tipo de sucesiones tienen incluidas en su ley de formación operaciones tales como la suma o la resta y la multiplicación intercaladas; para su desarrollo que es muy tedioso es mejor empezar con una secuencia desde el último término de la sucesión y la operación correspondiente a este, las fórmulas para desarrollar estos ejercicios son muy variadas, por lo cual se requiere mucho más análisis.

Este es un caso de sucesión combinada o mixta:
2, 6, 8, 24,…
Para hallar el 5 y 6 término se procede de la siguiente manera:
La sucesión tiene la siguiente ley de formación:
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Por tanto el 5to término es: 24 + 2 = 26
y el 6to termino es: 26 X 3 = 78
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Para citar otro caso:
4, 8, 40, 320,…
Hallar el 5 y 6 término se procede de la siguiente manera:
En este caso la ley de formación está dada así:
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Por tanto el 5to término es: (8 + 3) x 320 =3520
y el 6to termino es: (11 + 3) x 3520 = 49280
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La sucesión

La serie

Se le dice serie a la suma de los términos de una sucesión.
Es decir si la sucesión fuera de esta manera se realiza lo siguiente:
t1, t2, t3, t4,… , tn
la serie estaría dada por:
Sn= t1 + t2 + t3 + t4 + … + tn
Para citar un ejemplo:
Hallar la serie de la siguiente sucesión de números:
3, 10, 29, 64
Suma= 3 + 10 + 29 + 64
 
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Sucesión aritmética
Sucesión geométrica
Sucesión combinada o mixta
Sucesión alternada
Sucesiones literales
Sucesiones alfanuméricas
Sucesiones especiales numéricas
La sucesión

Hallar la sumatoria de términos de una progresión geométrica.

Para hallar la suma de términos de una progresión geométrica se debe tener en cuenta la siguiente formula:
 
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Dónde:
Sn=suma de términos
t1=primer término
r=razón
n=número de términos
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Ejemplo:
De la siguiente progresión geométrica halla la suma de los 20 primeros términos:
3, 9, 27, 81, …
 
Primero hallamos la razón:
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Ahora aplicamos la fórmula:
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Hallar el enésimo término de una progresión geométrica.
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Hallar el enésimo término de una progresión geométrica.

Para hallar el enésimo término de una progresión geométrica se deben tener en cuenta la siguiente formula:
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Dónde:
tn=término enésimo
t1=primer término
r=razón
n=número de términos
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Ejemplo:
De la siguiente progresión geométrica hallar el termino 20vo
3, 9, 27, 81, …
Primero hallamos la razón:
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Ahora aplicamos la fórmula:
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Hallar la sumatoria de términos de una progresión geométrica.
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Progresión Geométrica

Si la razón es la misma en la primera fila y usa el factor multiplicación, la sucesión se llama progresión geométrica, es decir de la siguiente manera:


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Dónde:
t1= primer término.
t2= segundo término.
tn= último término.
a= razón (es igual para toda la ley de formación y se resuelve multiplicando)
La fórmula para hallar la razón se puede usar de la siguiente forma:
 
image
 
Dónde:
tn= término enésimo
tn-1= término anterior al término enésimo
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Ejemplo:
De la siguiente progresión geométrica hallar la razón:
2, 4, 8, 16, …
Por formula:
 
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Hallar el enésimo término de una progresión geométrica.
Hallar la sumatoria de términos de una progresión geométrica.
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Sucesión Geométrica

 
Es aquella en la cual la ley de formación esta dada por el operador de la multiplicación, es decir:

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Dónde:
t1= primer término.
a1=primera fila de razones
b2= segunda fila de razones
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se puede dar como ejemplo:
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Progresión geométrica
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Suma de términos de una Progresión Aritmética

Para hallar la suma de términos de una progresión aritmética se hace uso de la siguiente formula:
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Dónde:
t1= primer término.
tn= último término.
r= razón
n= número de términos
Sn=suma de términos
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Ejemplo:
De la siguiente progresión aritmética
3, 5, 7, 9, 11…
Hallar la suma de los cinco y de los veinte primeros términos de la progresión aritmética
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Para hallar el término veinte
Aplicamos la fórmula para hallar el término enésimo:
t20 = 3 + 2 (20 - 1) = 41
Ahora hallamos la suma:
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Término enésimo de una progresión aritmética
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Término enésimo de una Progresión Aritmética

Para hallar el término enésimo se aplica la siguiente formula:
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Dónde:
t1= primer término.
tn= último término.
r= razón
n= número de términos
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Ejemplo:
De la siguiente sucesión:
3, 5, 7, 9, 11…
Hallar el término 6 y el 20
t6 = 3 + 2 (6 - 1) = 13
t20 = 3 + 2 (20 - 1) = 41
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Suma de términos de una Progresión Aritmética
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

La Progresión Aritmética

Si la razón aritmética es constante en la primera fila de razones dicha sucesión se le llama progresión aritmética, también se le llama sucesión lineal o sucesión aritmética de primer grado.
t1, t2, t3, t4, t5, t6
Donde t1 es el primer término y r es la razón aritmética determinada por
r = tn – tn-1
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Ejemplo:
La siguiente sucesión está determinada por:
3, 5, 7, 9, 11…
La razón de la sucesión es: 5 – 3 = 2
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Sucesión Aritmética

La ley de formación está dada por elementos que tiene relación con las operaciones de suma o resta, para estos ejercicios, sobre todo si son enormes cadenas de secuencias o varias filas de razones se puede facilitar el trabajo haciendo uso de la fórmula de la sucesión polinomial general.
Sucesión con varias filas de Razones:

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La fórmula de la sucesión polinomial general:
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NOTA: La fórmula de sucesión polinomial general puede continuar si la fila de razones aumenta.
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Ejemplo:
Hallar el 6to y el 20vo
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Para este caso se usa la sucesión polinomial general:
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Después de reducir la ecuación se obtiene:
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Al reemplazar “n” por 6 obtenemos: 43, este es el sexto término.
Al reemplazar “n” por 20 obtenemos: 554, este es el término 20 de la sucesión.
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Clases de Sucesiones

Existen muchas clases de sucesiones numéricas, literales y alfanuméricas, por ese motivo debemos aprender una por una para poder diferenciarlas:
 
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Sucesión aritmética
Sucesión geométrica
Sucesión combinada o mixta
Sucesión alternada
Sucesiones literales
Sucesiones alfanuméricas
Sucesiones especiales numéricas
La sucesión









Sucesiones especiales numéricas

Son sucesiones que guardan otro tipo de ley de formación que no está orientado específicamente a una razón constante, su ley de formación guarda un orden lógico diferente que debe ser analizado muy perspicazmente.
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Ejemplos:
Caso 1
Hallar el término siguiente
2, 4, 6, 10, 16,…
En este caso el término siguiente esta determinado por la suma de los dos términos anteriores, por tanto el término siguiente es 26.
 
Caso 2
Hallar el término siguiente
3, 4, 6, 8, 12,…
En este caso la sucesión esta determinada por la secuencia de números primos agregándoles a manera de suma la unidad, por tanto el número que sigue es el 14.

Sucesiones alfanuméricas

Estas sucesiones están conformadas por sucesiones literales y sucesiones numéricas, cada término de ambas mezclado da origen a un solo término de la sucesión alfanumérica.
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Ejemplo:

Hallar el término siguiente:

7a, 10ch, 13g, 16l,…

Para los números descubrimos que la ley de formación está dada por:

3 n + 4

Por tanto debe seguir como numero el: 19

Y las letras van en progresión dada por una disminución en la razón (r-1)

Además se incluye la “ch”, lo que da lugar a que se incluya también a la “ll”

Teniendo en cuenta esto la letra que sigue es la “p”

Entonces el término que sigue es “19p”

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Sucesiones

Sucesiones literales

La sucesión

Se define como sucesión a un conjunto de términos ordenados, dichos términos pueden ser números o símbolos, o ambos; este conjunto se caracteriza por tener un orden lógico, dicho orden se llama también ley de formación; la secuencia dada por la ley de formación es la que nos permite calcular el orden y diferenciar los elementos que contiene la sucesión llamados también términos de la sucesión.
Toda sucesión tiene esta estructura:
t1, t2, t3, t4, … , tn
Dónde:
t1= primer término.
t2= segundo término.
tn= último término.
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Ejm:
Si tenemos la siguiente sucesión:
t1, t2, t3, t4, ..., tn.
3, 10, 29, 66, …, tn.
Analicemos:
En este caso la ley de formación está dada por:
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Por esa razón si deseáramos encontrar el quinto término podríamos lo hallaríamos de la siguiente manera:
t5 = (5)3+2 = 127
El quinto término tiene un valor de 127
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La serie
Clases de sucesiones
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