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18 marzo 2015

Las Matemáticas en la Cultura Caldeo - Asiria

Esta cultura desarrollo una numeración decimal, y sexagesimal; también tenían medidas de longitud especiales como el palmo que tenía 25 cm, el codo que tenía 52 cm, el estadio de 114 metros; también desarrollaron unidades de peso como la mina de 30 gr, el talento de 60 minas de peso; también aprendieron operaciones de multiplicación y división.

24 julio 2012

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Función

Es una regla que denota que un elemento de un conjunto es correspondiente a otro único elemento de otro conjunto.

Ejm:

(1,4); (2,4); (3,4)

Da clic para seguir el vínculo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

GRÁFICA DE FUNCIONES

19 julio 2012

UTILIDAD

Es la ganancia neta de la empresa, es decir lo que queda del ingreso al definir los costos, su representación matemática es:

Ejercicios:

INGRESO

Es la entrada de capitales de una empresa producto de la venta de su producción sin definir los costos, está en función del precio y la cantidad producida, su representación matemática es:

Ejercicios de Costos

1) El costo variable de procesar 1 kg de azúcar es de S/. 0.59 y los costos fijos por día son de S/.5000

a) Encuentra la ecuación de costo lineal y grafique.
b) Determine el costo de producir 6000 kilogramos de azúcar en un día y diarios por una semana.
Desarrollo:
a) Para hallar la ecuación de costo ordenamos datos:
0,59 x + 5000
b) Por producir 6000 kilogramos:

Por producir 6000 diarios por una semana:

2) El costo de fabricar 25000 celulares es de $ 12500000 mientras que producir 100000 celulares del mismo tipo al día es de $ 47000000, si es un modelo de costo lineal determine:

a) La relación entre el costo total de producir “X” celulares al día y gráfica.
b) ¿Cuántos celulares se pueden producir con $ 30000000?
Desarrollo:
a) Primero simulamos las funciones de costo teniendo en cuenta los siguientes datos:
Función de costos 1:
CT= 12500000
X= 25000
Función de costos 2:
CT = 47000000
X = 100000
Recordar que ambas funciones de costos pertenecen a una sola, es decir:
Ahora ordenamos datos:

Ahora para hallar el costo fijo reemplazamos en la ecuación el valor del costo variable:
25000 (460) + B = 12500000
11500000 + B = 12500000
B = 1000000
La ecuación de costos queda de la siguiente manera:
CT = 460 X + 1000000
b) Para hallar la cantidad de celulares que se pueden producir igualamos la cantidad de dinero con la ecuación de costo total:
30000000 = 460 X + 1000000
29000000 = 460 X
X = 63043,48
Se pueden producir 63043 celulares con $ 30000000
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ANÁLISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO

Es el punto en el cual los costos y los ingresos son iguales, es decir no existe ni perdida (CT > I) ni ganancias (I > CT).

clip_image002

Caso de Aplicación:
En una fábrica de vehículos el costo de mano de obra y de los materiales por auto es de S/. 60000 y los costos fijos son de S/. 15000000 al día( si se vende cada reloj en S/. 150000), ¿Cuántos autos debe producir y vender a diario con el objeto de garantizar que el negocio no tenga ganancias ni pérdidas?
Desarrollo:
Primero hallamos la función de costos:
60000 X + 15000000
Luego hallamos la función de ingreso:
150000 x
Luego igualamos las formulas y hallamos el equilibrio:
60000 X + 15000000 = 150000 X
15000000 = 150000 X - 60000 X
15000000 = 90000 X
166,67 = X
Se deben producir 166 carros para no perder ni ganar.
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Limites

En un punto dado en el plano existe lo que se llama limite de una función y siempre que este en el dominio de dicha función para todo tiene que ser mayor que cero S>0 E>0

Si: Lim f_x=L /f_(x) - L/ < E siempre que (sq´) (X – X₀/ < S X → X₀

Ejemplo:

Determinar “S” en términos de “E”

1) Lim ( 7X + 2) = 37 ; S = F (E) X → 5

Desarrollo:

/7X+2-37/<E sq´ /X-5/<S

/7X-35/<E sq´ /X-5/<S

7/X-5/< E sq´ /X-5/<S

/X-5/< E/7 sq´ /X-5/<S

S = E / 7

2) Lim (X²-3X+4) = 8 X→4

Desarrollo:

/X²-3X+4-8/<E sq´ /X-4/<S

/X²-3X-4/<E sq´ /X-4/<S

/X+1/ /X-4/<E sq´ /X-4/<S

Entonces:

-1< X -4 < 1

3 < X < 5

Por X+1 se le suma a cada extremo:

4 < X < 6

Y se obtiene:

4 < X-4 < 6

-6 < X-4 < 6

/X-4/< 6

E= {1, E/6}

3) Lim (X³+2X²-3X+1)=11 X→2

Desarrollo:

/X³+2X²-3X+1-11/<E sq´ /X – 2/ < S

/X³+2X²-3X-10/<E sq´ /X – 2/ < S

/X-2/ /X²+4X+5/ <E sq´ /X-2/ <S

Entonces:

-1 < X-2 < 1

1 < X < 3

(1)²< (X)²< (3)²

1 < X² < 9

Tal que:

9 < 4X +5 < 17

Sumamos ambas cantidades:

10 < X²+4X+5 < 26

-26 < X²+4X+5 < 26

/X²+4X+5/ < 26

S = { 1 , E/26}

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Para determinar el dominio y rango de una función se deben considerar tres formas:
1. Forma simbólica.- los primeros elementos de un par ordenado son considerados el dominio y los elementos segundos son el rango.
2. Forma gráfica.- observar el dominio en el eje “X” y el rango en el eje “Y”
3. Forma analítica.- para hallar el dominio primero debemos despejar la variable en el eje “Y”; para hallar el rango la variable “X” debe despejarse; y debemos considerar:

Ejm:
Hallar el dominio en:

- En primer lugar como lo que debemos hallar es el dominio entonces debemos despejar la “y”, en este caso ya está despejada.
Ahora consideramos la primera opción dada en la forma analítica:

Ahora lo ubicamos en la gráfica:

clip_image016

Y obtenemos como resultado:

Para más información de este ejercicio da clic para seguir el vínculo:
Intervalos

GRÁFICA DE FUNCIONES

Se debe tener en cuenta:
1. El dominio de la función
2. Intercepción de los ejes “X” e “Y”
3. Asíntotas
4. Tabulación
5. Gráfica

Ejm:
Graficar la siguiente función:

Primero hallamos el dominio de la función:
Df= 10= 0 ; X-2 = 0 X= 2 ; por lo tanto el dominio de la función esta determinado por:

Luego hallamos los puntos de intercepción con el eje “x” e “y”
Reemplazamos el cero en las variables:

Por tanto la curva se cruza con el eje “y” en ese punto.
Ahora tomar en cuenta las asíntotas:
Para ello se debe despejar la “Y” para la asíntota vertical y luego la “X” para la asíntota horizontal:
Asíntota vertical:
Como “y” ya está despejada, lo único que hacemos es igualar el denominador a cero para obtener el valor de “X”

La asíntota se da en el número dos, es decir el resultado es indeterminado o infinito
Asíntota horizontal:
Debemos despejar la “X”:

Ahora igualamos a cero el denominador de la ecuación:
y = 0
La asíntota se da en el número cero, es decir el resultado es indeterminado o infinito
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Ahora hacemos la tabulación y la gráfica final:

grafica dela pinche funcion

14 julio 2012

Sucesión alternada o mesclada

Estas sucesiones podrían ser llamadas también sucesiones mescladas o sucesiones mixtas, en ellas siempre hay dos o más sucesiones que están mescladas intercaladamente una en otra , por tanto siempre existe más de una ley de formación. Ejemplo:

Para desarrollar este tipo de sucesiones casi siempre se puede hacer uso de las leyes de progresión aritmética y geométrica, teniendo en cuenta los términos pares e impares de la sucesión.

Comúnmente tienen esta estructura:

Da clic para seguir el vínculo:
Ejercicios de sucesión alternada o mesclada
Progresión aritmética
Progresión geométrica
La sucesión

Sucesiones literales

Las sucesiones literales como su nombre lo dice están formadas por órdenes lógicos de letras, dichos órdenes incluyen las reglas del alfabeto o abecedario, y ya que el abecedario varia en el uso de algunas letras se pueden especificar las siguientes reglas:

En primer lugar verificar si el orden pertenece al abecedario si es así, entonces recordar que el abecedario tiene dos tipos, el que incluye la ch y la ll y el que no las incluye, en estos casos si dentro del ejercicio o las alternativas aparece la ch o la ll entonces se deben considerar ambas dentro del abecedario, pero si no están incluidas se debe usar el abecedario que no las contiene; Si el orden no responde al abecedario significa que dichas letras corresponden al orden de palabras o la primeras letras de un orden tal como los días de la semana (l, m, m, j, V, s, d) o los meses (e, f, m, a, m , j, j, a, s, o, n, d)

En algunos casos algunos autores acostumbran a enumerar las letras del abecedario para de esta manera facilitar el desarrollo de estos ejercicios.

Ejercicios:

Caso 1
Que letra continúa la sucesión:
A,e,h,…
En este caso observamos como la variación es de:

Por tanto la letra siguiente es la “j”
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Caso 2
Que letra es la que sigue en la siguiente sucesión:
s, o, r, b, i,…
En este caso podemos observar que la ley de formación esta determinada por la palabra libros pero invertida, por tanto la letra faltante es la “L”
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Caso 3
Que letra continúa la sucesión:
d, l, m,…
En este caso se refiere a los días de la semana empezando por el domingo, por tanto la letra que sigue es la “m” de miércoles.
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La sucesión

Ejercicios de sucesión alternada o mesclada

Hallar el 10^mo y 11^vo término de la sucesión
2, 3, 6, 7, 18, 11,…
Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta la ley de formación de las dos sucesiones que están mescladas en esta sucesión, luego para números impares o pares se usan estas fórmulas individuales:

Para números pares:
Si te piden un número par este será otro número en la progresión individual, por ello se usa esta fórmula:

NV = 2 n

Para números impares:
Si te piden un número par este será otro número en la progresión individual, por ello se usa esta fórmula:

NV = 2 n – 1

Ahora mostremos gráficamente la ley de formación de esta sucesión:
2, 3, 6, 7, 18, 11,…

Para hallar el término 10 detectamos que es un número par entonces:
10 = 2 n n=5 y su razón de los números pares es +4 (progresión aritmética)

El termino 10 de la sucesión es 19

Para hallar el término 11 detectamos que es un número impar entonces:
11= 2n-1 n=6 y su razón de los números pares es ×3 (progresión geométrica)

El termino 11 de la sucesión es 486

NOTA: Se procede de igual forma para hallar la sumatoria de términos, solo que al final las sumas de ambos se unen en una sola suma, es decir, si te pidieran la suma de los 11 primeros términos debes hallar la suma de los seis términos consecutivos geométricos y la suma de los cinco consecutivos aritméticos y luego sumar ambos resultados.

Da clic para seguir el vínculo:
Progresión aritmética
Progresión geométrica
La sucesión

Sucesión combinada o mixta

Este tipo de sucesiones tienen incluidas en su ley de formación operaciones tales como la suma o la resta y la multiplicación intercaladas; para su desarrollo que es muy tedioso es mejor empezar con una secuencia desde el último término de la sucesión y la operación correspondiente a este, las fórmulas para desarrollar estos ejercicios son muy variadas, por lo cual se requiere mucho más análisis.

Este es un caso de sucesión combinada o mixta:
2, 6, 8, 24,…
Para hallar el 5 y 6 término se procede de la siguiente manera:
La sucesión tiene la siguiente ley de formación:

Por tanto el 5^to término es: 24 + 2 = 26
y el 6^to termino es: 26 X 3 = 78
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Para citar otro caso:
4, 8, 40, 320,…
Hallar el 5 y 6 término se procede de la siguiente manera:
En este caso la ley de formación está dada así:

Por tanto el 5^to término es: (8 + 3) x 320 =3520
y el 6^to termino es: (11 + 3) x 3520 = 49280
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Da clic para seguir el vínculo:
La sucesión

La serie

Se le dice serie a la suma de los términos de una sucesión.
Es decir si la sucesión fuera de esta manera se realiza lo siguiente:

t₁, t₂, t₃, t₄,… , t_n

la serie estaría dada por:

S_n= t₁ + t₂ + t₃ + t₄+ … + t_n

Para citar un ejemplo:
Hallar la serie de la siguiente sucesión de números:

3, 10, 29, 64

Suma= 3 + 10 + 29 + 64

Da clic para seguir el vínculo:
Sucesión aritmética
Sucesión geométrica
Sucesión combinada o mixta
Sucesión alternada
Sucesiones literales
Sucesiones alfanuméricas
Sucesiones especiales numéricas
La sucesión

Hallar la sumatoria de términos de una progresión geométrica.

Para hallar la suma de términos de una progresión geométrica se debe tener en cuenta la siguiente formula:

Dónde:
S_n=suma de términos
t₁=primer término
r=razón
n=número de términos
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Ejemplo:
De la siguiente progresión geométrica halla la suma de los 20 primeros términos:
3, 9, 27, 81, …

Primero hallamos la razón:

Ahora aplicamos la fórmula:

Da clic para seguir el vínculo:
Hallar el enésimo término de una progresión geométrica.
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Hallar el enésimo término de una progresión geométrica.

Para hallar el enésimo término de una progresión geométrica se deben tener en cuenta la siguiente formula:

Dónde:
t_n=término enésimo
t₁=primer término
r=razón
n=número de términos
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Ejemplo:
De la siguiente progresión geométrica hallar el termino 20^vo
3, 9, 27, 81, …
Primero hallamos la razón:

Ahora aplicamos la fórmula:

Ver más...

Da clic para seguir el vínculo:
Hallar la sumatoria de términos de una progresión geométrica.
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Progresión Geométrica

Si la razón es la misma en la primera fila y usa el factor multiplicación, la sucesión se llama progresión geométrica, es decir de la siguiente manera:

Dónde:
t₁= primer término.
t₂= segundo término.
t_n= último término.
a= razón (es igual para toda la ley de formación y se resuelve multiplicando)
La fórmula para hallar la razón se puede usar de la siguiente forma:

Dónde:
t_n= término enésimo
t_n-1= término anterior al término enésimo
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Ejemplo:
De la siguiente progresión geométrica hallar la razón:
2, 4, 8, 16, …
Por formula:

Da clic para seguir el vínculo:
Hallar el enésimo término de una progresión geométrica.
Hallar la sumatoria de términos de una progresión geométrica.
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Sucesión Geométrica

Es aquella en la cual la ley de formación esta dada por el operador de la multiplicación, es decir:

Dónde:
t₁= primer término.
a₁=primera fila de razones
b₂= segunda fila de razones
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se puede dar como ejemplo:

da clic para seguir el vínculo:
Progresión geométrica
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Suma de términos de una Progresión Aritmética

Para hallar la suma de términos de una progresión aritmética se hace uso de la siguiente formula:

Dónde:
t₁= primer término.
t_n= último término.
r= razón
n= número de términos
Sn=suma de términos
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Ejemplo:
De la siguiente progresión aritmética
3, 5, 7, 9, 11…
Hallar la suma de los cinco y de los veinte primeros términos de la progresión aritmética

Para hallar el término veinte
Aplicamos la fórmula para hallar el término enésimo:
t₂₀= 3 + 2 (20 - 1) = 41
Ahora hallamos la suma:

Da clic para seguir el vínculo:
Término enésimo de una progresión aritmética
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

Término enésimo de una Progresión Aritmética

Para hallar el término enésimo se aplica la siguiente formula:

Dónde:
t₁= primer término.
t_n= último término.
r= razón
n= número de términos
Ver más...

Ejemplo:
De la siguiente sucesión:
3, 5, 7, 9, 11…
Hallar el término 6 y el 20
t₆= 3 + 2 (6 - 1) = 13
t₂₀= 3 + 2 (20 - 1) = 41
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Suma de términos de una Progresión Aritmética
Sucesión alternada o mesclada
La sucesión

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