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29 octubre 2012

Tasas de interés

Simbología

J= tasa anual dada convertible más de un año (tasa nominal)
i= tasa de interés efectivamente ganada
n= número de periodos de interés
m= número de capitalizaciones en el año
i’= J/m = tasa de interés por periodo de interés o tasa proporcional

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da clic para seguir el vinculo:

relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva

tasa nominal

conversión de la tasa efectiva en tasa nominal

conversión de una tasa nominal en una tasa efectiva

tasa periódica o proporcional

tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva

tasa de interés real

INTERÉS COMPUESTO

Contrario al interés simple, en el interés compuesto se realiza una inversión sin retirar el interés, es decir, este interés continua sumándose a la inversión inicial y gana intereses en cada periodo.

Sus características fundamentales son:

Los intereses se acumulan al stock inicia para generar nuevos intereses

El horizonte temporal “n” es un exponente

El stock final crece en forma exponencial a lo largo del tiempo

Su fórmula principal de capitalización es:

S= P (1+ i)n

Ejemplo:

Un comerciante cuenta con un stock de efectivo de 5000 dólares y un banco le ofrece una tasa de intereses del 4% semestral cuando transcurra un periodo de 4 semestres, ¿a cuanto asciende la renta acumulada de intereses compuestos y el stock final de efectivo?

Horizonte de tiempo	Stock inicial	intereses	Stock final
0			5000
1	5000	200	5200
2	5200	208	5408
3	5408	216,32	5624,32
4	5624,32	224,97	5849,29

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Da clic para seguir el vínculo:
Deducción de la fórmula de interés compuesto
Formulas financieras de interés compuesto
Diferencias entre interés simple y compuesto
Formulas derivadas del monto a interés compuesto
Monto de interés compuesto con variación de tasa
Monto en función de la tasa nominal capitalizable
Monto con periodos de capitalización financiera
Interés compuesto con principal y tasa efectiva constante
Multiplicación de un capital a interés compuesto
Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto
Periodo equivalente o con vencimiento común en interés compuesto

Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva

Estos ejercicios se resuelven haciendo uso de:

Dónde:
F: número de días del periodo de interés que se busca
H: número de días del periodo de interés
Ejemplo:
Calcular la TEM a partir de una TEA del 30%
Datos:
i = 0,30 TEA
TEM = ?
F = 30
H = 360
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Desarrollo:
i’ = (1 + 0,30)30/360 – 1
i’ = 0,0221
i’ = 2,21%
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Tasa periódica o proporcional

permite hallar una parte de una tasa efectiva, para hallarla se hace uso de las formulas:

Ejemplo:
la TEA alcanza un 45% , establecer la TEM equivalente
datos:
i= 0,45 TEA
i’=? TEM
m = 12
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desarrollo:
i’ = (1 + 0,45)^1/12-1
i’ = 0,0314
i’ = 3,14%
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Conversión de una tasa nominal en una tasa efectiva

Se usan las siguientes formulas:

Ejemplo:
Hallar las tasas efectivas que se obtendrían de una tasa nominal de 15% si las conversiones hicieran:
a) Trimestral
b) Semestral
c) Mensual
d) Diariamente
Desarrollo:
a) m=4
i= (1+0,15/4)4-1
i=15,87%

b) m= 2
i= (1+0,15/2)2-1
i=15,56%

c) m=12
i= (1+0,15/12)12-1
i=16,07%

d) m= 360
i= (1+0,15/360)360-1
i=16,18%
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Conversión de la tasa efectiva en tasa nominal

se hace uso de las siguientes fórmulas:

ejemplo:
hallar la tasas nominales que convertibles semestral, trimestral, mensual y diariamente equivalen a una tasa efectiva de 24%
datos:
J= ?
i = TE = 24%
m = 2, 4, 12, 360
desarrollo:
a) m=2
J = 2 ((1+0,24)^1/2-1)
J=22,71%
b) m=4
J = 4 ((1+0,24)^1/4-1)
J= 22,10%
c) m=12
J = 12 ((1+0,24)^1/12-1)
J= 21,71%
d) m=360
J = 360 ((1+0,24)^1/360-1)
J= 21,52%
Recuerda, a mayor número de capitalizaciones menor es la tasa nominal.
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Tasa nominal

Para hacer cambios entre una tasa nominal de un periodo a otra tasa nominal de otro periodo se procede así:
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Calcular la tasa nominal trimestral a una tasa nominal anual del 24%
Datos:
TNA: i = 24%
TNT: ?
m = 4
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desarrollo:
TNT = J ( TNA)/ m = 0,24/4 = 0,06
La tasa nominal trimestral es del 6%
Calcular la tasa nominal anual a partir de una tasa nominal mensual del 2%
TNM = 2%
TNA = ?
m = 1/12
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desarrollo:
TNA = 0,02/18/1/12 = 0,24 = 24%
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Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva

Existe una relación de equivalencia, y se puede expresar de la siguiente manera:

Periodo equivalente o con vencimiento común en interés compuesto

Se trata de pagar el total de las sumas en una sola fecha
El tiempo que hay que realizar un pago recibe el nombre de periodo equivalente y se igualan los periodos actuales
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Ejemplo:
Si hay que pagar 5000 dólares dentro de 3,5 años; 3000 dólares dentro de 2 años y 7000 dólares dentro de 4 años , la tasa es 6% capitalizable semestralmente, hallar el periodo de equivalencia

3000(1+0,06/2)^-x + 5000(1+0,06/2)^-x +7000(1+0,06/2)^-x=3000(1,03)^-4+5000(1,03)^-7+7000(1,03)^-8
X = 6,8328
Rspta: 6 semestres y 150 días
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Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto

Ejemplo:
Si se desea pagar las obligaciones que a continuación se indican mediante dos importes uno al sexto y otro al noveno mes ambos iguales tomando como fecha focal el fin de mes 12, siendo la tasa de interés del 9% mensual, calcular el valor de cada pago.
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Dólares	Tiempo
10000	5 meses
12000	7 meses
15000	8 meses
13000	12 meses

Desarrollo:
x (1 + 0,09)⁶ + x (1 + 0,09)³ = 10000 (1 + 0,09)⁷ + 12000 (1+0,09)³ + 15000 (1 +0,09)⁴ + 13000
x = $ 23860,88

Valor actual o valor presente a interés compuesto

Se hace uso de las formulas:

Se tiene el factor simple de actualización:

El cual transforma un stock final de efectivo en un stock inicial de efectivo
Ejemplo:
Hallar el valor actual de 10000 dólares pagaderos dentro de 10 años al 5% con acumulación anual
Datos:
P = ?
S = 10000
n = 10 años
i = 5% anual

S = 10000/ (1 + 0,05)¹⁰
S = $ 6139,13

S = 10000 (1/((1 +0,05)¹⁰)
S = $ 6139,13
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Hallar el valor de 5000 dólares pagaderos dentro de 6 años al 6% capitalizable trimestral
S = 5000
n = 6 años
i = 6% 0,06/4 = 1,5% = 0,015
Capitalizable trimestralmente

Desarrollo:
P = 5000 ((1+(0,06/4)^6x4)
P = 5000 (0,699543919)
P = $ 3497,72
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Multiplicación de un capital a interés compuesto

Para hacer esta operación se hace uso de las siguientes formulas:

Ejemplo:
Hallar la tasa semestral a la que se debe colocar un capital para que a interés simple se cuadruplique en 20 semestres
K= 4
n= 20 semestral
i = ?
i = 4 ^1/20 – 1
i = 1,071773463-1
i = 0,071773463
i = 7,177% semestral

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En qué tiempo se cuadruplica un capital al 7,177% semestral
K = 4
n = ?
i = 7,177% semestral
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desarrollo:
n = log 4/(log (1 + 0,07177))
n = 20,00093222 semestres
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Interés compuesto con principal y tasa efectiva constante

Ejemplo:
Si una persona deposita 10000 dólares en una institución financiera y devenga una TEM de 2% ¿Qué interés compuesto abra acumulado en tres meses?
Datos:
P = 10000
i = 2% TEM
n= 3 meses
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Desarrollo:

I = 10000 ((1+0,02)³-1)
I = 10000 (0,061208)
I = $ 612,08

Monto con periodos de capitalización financiera

Para hallar este monto se puede hacer uso de dos métodos:
a) Método comercial

Comercialmente el monto compuesto para los periodos de capitalización enteros y el interés simple se utiliza para las fracciones de periodos
Se hace uso de la fórmula:
S = P (1 + i)ⁿ (1 + in)
Dónde: P (1 + i)ⁿes un entero y (1 + in) es una fracción Ver más...

b) Método teórico

Desde el punto de vista teórico el monto debe calcularse a interés compuesto para el total de periodos incluida la fracción:
S = P ( 1 + i)ⁿdonde “n” es una fracción

Ejm:
Hallar el monto de 100000 dólares colocados el 6% con capitalización anual, durante 2 años y 4 meses, has uso del método comercial y el teórico: Ver más...

Desarrollo

Por el método comercial:
S = 100000(1+0,06)2 (1+0,06)
S = $ 114607,2

Por el método teórico:
S = 100000 (1+0,06) ^(2+4/12)
S = 100000 (1,145636967)
S = $114563,7

Monto en función de la tasa nominal capitalizable

j = tasa nominal
n= número de capitalizaciones en el año

Ejemplo:
Calcular el monto compuesto que rindió un capital de 1000 dólares en el plazo de medio año que se colocó a una TNM de 2% capitalizable cada quincena.

Datos:
P = 10000
n= 6 meses
i = 2% TNM
m = 2

S = P (1 + (j/m))ⁿ
S = 1000 (1 + 0,02/2)^6x2
S = 1000 (1,2682503)
S = $ 1126,83
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Debemos recordar que “m” debe estar en función de “i”, y “n” debe estar en función de la capitalización.

Monto de interés compuesto con variación de tasa

Se utiliza cuando existen variaciones de la tasa a través del tiempo de interés, i₁ y n₁ deben estar en el mismo tiempo, al igual que n₂ y i₂ …hasta i_m y n_m

Se hace uso de la siguiente formula:

S = P ((1+i₁)ⁿ₁(1+i₂)ⁿ₂…(1+i_m) ⁿ_m)

Ejm:

Se requiere calcular el monto compuesto que origino un depósito de ahorro de 50000 dólares colocado a un plazo fijo en el banco desde el 2 de julio al 30 de setiembre del mismo año con una tasa del 24% TEA, en ese plazo la TEA bajo al 22% el 15 de julio y al 20% el 16 de setiembre

Desarrollo:

S = 50000 ((1 + 0,24)^13/360 (1+0,22)^63/360 (1+0,20)^14/360)

S = 50000 (1,050910671)

S = $ 5254,53

A PARTIR DE	i	n
2 de julio	24%	13
15 de julio	22%	63
16 de setiembre	20%	14
30 de setiembre

Formulas derivadas del monto a interés compuesto

Son las siguientes:

Calcular el monto acumulado al cabo de 4 años a partir de un capital inicial de 10000 dólares a una TEA de 18%
Datos:
S = ?
n = 4 años
P = 10000
i = 18% TEA
Desarrollo:

S = P ( 1 + i)ⁿ
S= 10000 (1+0,18)⁴
S = 10000 (1,93877776)
S = $ 19387,78

Diferencias entre interés simple y compuesto

16% en un año es un 16% de interés simple
16% en un año es un 16% más un plus de interés compuesto
Porque el 16% es una tasa nominal y la tasa efectiva es el verdadero cobro de intereses.
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Así tenemos que:
Las tasas de interés efectivas tienen siglas específicas:

Intereses	Siglas
Anual	TEA
Semestral	TES
Cuatrimestral	TEC
Trimestral	TET
Bimestral	TEB
Mensual	TEM
Quincenal	TEQ
Diaria	TED

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Ejemplo:
Un banco paga por los depósito que recibe una tasa nominal mensual del 3% con capitalización trimestral , que monto se habrá acumulado con un capital inicial de 3000 dólares en 6 meses
Datos
P= $ 3000
i= 0,03 TEM
n= 6 meses
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Capitalización trimestral
Desarrollo:
Primero convertimos a la tasa en trimestral:
0,03 x 3 = 0,09 TET
Luego convertimos a los meses en trimestres:
6/3 = 2 trimestres
Luego hallamos el monto:

S = 3000 (1+ 0,09)²
S = 3000 (1,048808848)
S = $ 1048,81

Formulas financieras de interés compuesto

Capitalización compuesta
S = P (1 +i)ⁿ
Formula del interés compuesto
I = S – P I = P (1 + i)ⁿ-1 I = P ((1 + i)ⁿ -1)
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Ejemplo:
Un comerciante cuenta con un stock de efectivo de 5000 dólares y un banco le ofrece una tasa de intereses del 4% semestral cuando transcurra un periodo de 4 semestres, ¿a cuanto asciende la renta acumulada de intereses compuestos y el stock final de efectivo?
Datos:
P= $ 5000
i = 4% semestral
n = 4 semestres
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Calculo del stock final de efectivo
S = 5000 (1+0,04)⁴
S = 5000 (1,16985856)
S = $ 5849,29

Calculo de la renta acumulada de intereses

I = P ((1 + i)ⁿ-1)
I = 5000 ((1 +0,04)⁴ – 1)
I = 5000 (0,16985856)
I = $ 849,29

Deducción de la fórmula de interés compuesto

Para deducir el interés compuesto en un periodo de capitalización podemos hacer uso del siguiente cuadro:

Horizonte de tiempo	Stock inicial	Interés	Stock final
0			P
1	P	P x i	P + Pi = P (1+i)
2	P(1+i)	P (1+i) x i	P (1+i) + P (1+i) x i = P (1+i) (1+i)= P (1+i)²
3	P(1+i)²	P (1+i)² x i	P (1+i)² + P (1+i)² x i= P (1+i)³
4	P(1+i)³	P (1+i)³ x i	P (1+i)³ + P (1+i)³ x i= P (1+i)⁴
…	…	…	…
n	P(1+i)^n-1	P (1+i)^n-1x i	P (1+i)^n-1+ P (1+i)^n-1x i= P (1+i)ⁿ

(Análisis de sensibilidad de variación de la fórmula de interés compuesto)
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